На рисунке 4.15 изображены фигура PRSKLN.
а) Найдите площади и периметры трех частей, на которые разбита эта фигура.
б) Найдите площадь и периметр всей фигуры.
в) Равна ли площадь фигуры сумме площадей ее частей?
г) Равен ли периметр фигуры сумме периметров ее частей? Объясните свой ответ.

Теория

Прежде чем мы начнем решать задачу, давай вспомним основные понятия:

1. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

2. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

3. Площадь — это величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, квадратные сантиметры − см², квадратные метры − м²).

• Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = a * b, где a — длина, b — ширина.
• Площадь квадрата вычисляется по формуле: S = a², где a — длина стороны.

4. Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Периметр измеряется в единицах длины (например, сантиметры − см, метры − м).

• Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2 * (a + b), где a — длина, b — ширина.
• Периметр квадрата вычисляется по формуле: P = 4 * a, где a — длина стороны.

Решение

Теперь давай решим задачу по шагам, как будто мы делаем это в тетради.

а) Найдите площади и периметры трех частей, на которые разбита фигура.

На рисунке мы видим, что фигура PRSKLN разбита на три части: прямоугольники PRSO, SMNO и KLMS. Нам нужно найти площадь и периметр каждого из них.

1. Прямоугольник PRSO

• Длина (PO) = 3 см
• Ширина (PR) = 3 см
• Площадь (S) = длина * ширина = 3 см * 3 см = 9 см²
• Периметр (P) = 2 * (длина + ширина) = 2 * (3 см + 3 см) = 2 * 6 см = 12 см

2. Прямоугольник SMNO

• Длина (ON) = 4 см
• Ширина (SO) = 3 см
• Площадь (S) = длина * ширина = 4 см * 3 см = 12 см²
• Периметр (P) = 2 * (длина + ширина) = 2 * (4 см + 3 см) = 2 * 7 см = 14 см

3. Прямоугольник KLMS

• Длина (KL) = 4 см
• Ширина (KS) = 2 см
• Площадь (S) = длина * ширина = 4 см * 2 см = 8 см²
• Периметр (P) = 2 * (длина + ширина) = 2 * (4 см + 2 см) = 2 * 6 см = 12 см

б) Найдите площадь и периметр всей фигуры.

Теперь найдем площадь и периметр всей фигуры PRSKLN.

• Представим, что вся фигура −− это прямоугольник PQTN, где точка Q находится на продолжении от точки R, а точка T на продолжении от точки K. Площадь прямоугольника PQTN равна:

  • PQ = 3 + 2 = 5 см
  • PT = 3 + 4 = 7 см
  • S = 5 * 7 = 35 см²
  • Теперь нужно отнять площадь прямоугольника RTKL, который находится сверху фигуры.
  • RT = KL = 4 см
  • RK = 3 см − 3 см = 0 см
  • S = 0 * 4 = 0 см²
  • Площадь всей фигуры равна:
  • S = 35 − 6 = 29 см²

• Периметр всей фигуры можно найти, просто сложив длины всех внешних сторон:

  • P = PR + RS + SK + KL + LN + NO + OP = 3 см + 3 см + 2 см + 4 см + 4 см + 3 см + 2 см + 3 см = 24 см

в) Равна ли площадь фигуры сумме площадей ее частей?

Сложим площади трех частей:

9 см² (PRSO) + 12 см² (SMNO) + 8 см² (KLMS) = 29 см²

Площадь всей фигуры, которую мы нашли ранее, тоже равна 29 см².

Вывод: Да, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

г) Равен ли периметр фигуры сумме периметров ее частей? Объясните свой ответ.

Сложим периметры трех частей:

12 см (PRSO) + 14 см (SMNO) + 12 см (KLMS) = 38 см

Периметр всей фигуры равен 24 см.

Вывод: Нет, периметр фигуры не равен сумме периметров ее частей. Это происходит потому, что когда мы складываем периметры частей, мы учитываем длины внутренних отрезков (SO и SM) дважды, хотя они не являются частью внешней границы всей фигуры.

Ответ:

а)

• S(PRSO) = 9 см², P(PRSO) = 12 см
• S(SMNO) = 12 см², P(SMNO) = 14 см
• S(KLMS) = 8 см², P(KLMS) = 12 см

б)

• S(PRSKLN) = 29 см²
• P(PRSKLN) = 24 см

в) Да, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

г) Нет, периметр фигуры не равен сумме периметров ее частей, так как внутренние отрезки учитываются дважды при сложении периметров частей.