1) $1 : a = \frac{1}{a}$ (пути/ч) − скорость теплохода по течению реки;
2) $1 : 20 = \frac{1}{20}$ (пути/ч) − скорость теплохода против течения реки;
3) $(\frac{1}{a} - \frac{1}{20}) : 2 = \frac{20 - a}{20a} * \frac{1}{2} = \frac{20 - a}{40a}$ (пути/ч) − скорость течения реки;
4) $1 : \frac{20 - a}{40a} = 1 * \frac{40a}{20 - a} = \frac{40a}{20 - a}$ (ч) − будут плыть плоты из B в A.
Заменим a натуральным числом в выражении $\frac{40a}{20 - a}$, чтобы выражение $\frac{40a}{20 - a}$ было натуральным числом, 6 < a < 18.
Чтобы выражение $\frac{40a}{20 - a}$ было натуральным числом, надо, чтобы число 40a делилось на число 20 − a без остатка. Так как 6 < a < 18 и a − натуральное число, то найдем a методом подбора:
при a = 7:
$\frac{40 * 7}{20 - 7} = \frac{280}{13} = 21\frac{7}{13}$ − значит a ≠ 7;
при a = 8:
$\frac{40 * 8}{20 - 8} = \frac{320}{12} = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$ − значит a ≠ 8;
при a = 9:
$\frac{40 * 9}{20 - 9} = \frac{360}{11} = 32\frac{8}{11}$ − значит a ≠ 9;
при a = 10:
$\frac{40 * 10}{20 - 10} = \frac{400}{10} = 40$ − значит a может быть равно 10;
при a = 11:
$\frac{40 * 11}{20 - 11} = \frac{440}{9} = 48\frac{8}{9}$ − значит a ≠ 11;
при a = 12:
$\frac{40 * 12}{20 - 12} = \frac{480}{8} = 60$ − значит a может быть равно 12;
при a = 13:
$\frac{40 * 13}{20 - 13} = \frac{520}{7} = 74\frac{2}{7}$ − значит a ≠ 13;
при a = 14:
$\frac{40 * 14}{20 - 14} = \frac{560}{6} = \frac{280}{3} = 93\frac{1}{3}$ − значит a ≠ 14;
$\frac{40 * 15}{20 - 15} = \frac{600}{5} = 120$ − значит a может быть равно 15;
при a = 16:
$\frac{40 * 16}{20 - 16} = \frac{640}{4} = 160$ − значит a может быть равно 16;
при a = 17:
$\frac{40 * 17}{20 - 17} = \frac{680}{3} = 226\frac{2}{3}$ − значит a ≠ 17.
Ответ: чтобы ответ выражался натуральным число, букву a в условии задачи можно заменить натуральными числами 10, 12, 15, 16.