Пусть x − числитель дроби, тогда:
x + 3 − знаменатель дроби;
$\frac{x}{x + 3}$ − исходная дробь;
$\frac{x + 4}{x + 3 + 8} = \frac{x + 4}{x + 11}$ − полученная дробь.
Так как, полученная дробь на $\frac{1}{6}$ больше исходной, можно составить уравнение:
$\frac{x + 4}{x + 11} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{6}$
x + 11 ≠ 0
x ≠ −11
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{x + 4}{x + 11} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{6}$ | * 6(x + 11)(x + 3)
$6(x + 3)(x + 4) - 6x(x + 11) = (x + 11)(x + 3)$
$6(x^2 + 3x + 4x + 12) - 6x^2 - 66x = x^2 + 11x + 3x + 33$
$6(x^2 + 7x + 12) - 6x^2 - 66x - x^2 - 11x - 3x - 33 = 0$
$6x^2 + 42x + 72 - 7x^2 - 80x - 33 = 0$
$-x^2 - 38x + 39 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 38x - 39 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 38^2 - 4 * 1 * (-39) = 1444 + 156 = 1600 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-38 + \sqrt{1600}}{2 * 1} = \frac{-38 + 40}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-38 - \sqrt{1600}}{2 * 1} = \frac{-38 - 40}{2} = \frac{-78}{2} = -39$ − не является решением, так как числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом, тогда:
$\frac{x}{x + 3} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ − исходная дробь.
Ответ: $\frac{1}{4}$