Пусть x − числитель дроби, тогда:
x + 3 − знаменатель дроби;
$\frac{x}{x+3}$ − исходная дробь;
$\frac{x+4}{x+3+8}=\frac{x+4}{x+11}$ − полученная дробь.
Так как, полученная дробь на $\frac{1}{6}$ больше исходной, можно составить уравнение:
$\frac{x+4}{x+11}-<!--\; -\; -->\frac{x}{x+3}=\frac{1}{6}$
x + 11 ≠ 0
x ≠ −11
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{x+4}{x+11}-<!--\; -\; -->\frac{x}{x+3}=\frac{1}{6}$ | * 6(x + 11)(x + 3)
$6(x+3)(x+4)-<!--\; -\; -->6x(x+11)=(x+11)(x+3)$
$6(x^2+3x+4x+12)-<!--\; -\; -->6x^2-<!--\; -\; -->66x=x^2+11x+3x+33$
$6(x^2+7x+12)-<!--\; -\; -->6x^2-<!--\; -\; -->66x-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->11x-<!--\; -\; -->3x-<!--\; -\; -->33=0$
$6x^2+42x+72-<!--\; -\; -->7x^2-<!--\; -\; -->80x-<!--\; -\; -->33=0$
$-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->38x+39=0$ | * (−1)
$x^2+38x-<!--\; -\; -->39=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac={38}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->39)=1444+156=1600>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->38+\sqrt{1600}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->38+40}{2}=\frac{2}{2}=1$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->38-<!--\; -\; -->\sqrt{1600}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->38-<!--\; -\; -->40}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->78}{2}=-<!--\; -\; -->39$ − не является решением, так как числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом, тогда:
$\frac{x}{x+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ − исходная дробь.
Ответ: $\frac{1}{4}$