Пусть x (км/ч) − собственная скорость катера, тогда:
x + 1 (км/ч) − скорость катера по течению реки;
x − 1 (км/ч) − скорость катера против течения реки;
$\frac{16}{x + 1}$ (ч) − шел катер по течению реки;
$\frac{30}{x - 1}$ (ч) − шел катер против течения реки;
1 ч 30 мин = $1\frac{30}{60}$ (ч) = $1\frac{1}{2}$ (ч) = $\frac{3}{2}$ (ч).
Так как, на весь путь катер затратил 1 ч 30 мин, можно составить уравнение:
$\frac{16}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = \frac{3}{2}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{16}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = \frac{3}{2}$ | * 2(x − 1)(x + 1)
32(x − 1) + 60(x + 1) = 3(x − 1)(x + 1)
$32x - 32 + 60x + 60 = 3(x^2 - 1)$
$92x + 28 = 3x^2 - 3$
$-3x^2 + 92x + 28 + 3 = 0$
$-3x^2 + 92x + 31 = 0$ | * (−1)
$3x^2 - 92x - 31 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-92)^2 - 4 * 3 * (-31) = 8464 + 372 = 8836 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{92 + \sqrt{8836}}{2 * 3} = \frac{92 + 94}{6} = \frac{186}{6} = 31$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{92 - \sqrt{8836}}{2 * 3} = \frac{92 - 94}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 31 (км/ч) − собственная скорость катера.
Ответ: 31 км/ч