Пусть x (сторон) − многоугольника, тогда:
(x − 3) диагонали можно провести в многоугольники из каждой вершины;
так как диагональ соединяет сразу две вершины, то:
$\frac{1}{2}x(x-<!--\; -\; -->3)$ (диагоналей) всего можно провести в многоугольнике.
Зная, что всего в многоугольнике можно провести 90 диагоналей, составим уравнение:
$\frac{1}{2}x(x-<!--\; -\; -->3)=90$ |* 2
x(x − 3) = 180
$x^2-<!--\; -\; -->3x-<!--\; -\; -->180=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->3{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->180)=9+720=729>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+\sqrt{729}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{3+27}{2}=\frac{30}{2}=15$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-<!--\; -\; -->\sqrt{729}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{3-<!--\; -\; -->27}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->24}{2}=-<!--\; -\; -->12$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество сторон не может быть отрицательным.
Ответ: 15 сторон