Пусть x (сторон) − многоугольника, тогда:
(x − 3) диагонали можно провести в многоугольники из каждой вершины;
так как диагональ соединяет сразу две вершины, то:
$\frac{1}{2}x(x - 3)$ (диагоналей) всего можно провести в многоугольнике.
Зная, что всего в многоугольнике можно провести 90 диагоналей, составим уравнение:
$\frac{1}{2}x(x - 3) = 90$ |* 2
x(x − 3) = 180
$x^2 - 3x - 180 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-180) = 9 + 720 = 729 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество сторон не может быть отрицательным.
Ответ: 15 сторон