$|x^2 + 7x - 4| = 4$
а)
$x^2 + 7x - 4 = 4$
$x^2 + 7x - 4 - 4 = 0$
$x^2 + 7x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
б)
$x^2 + 7x - 4 = -4$
$x^2 + 7x - 4 + 4 = 0$
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: −8; −7; 0; 1.

$5x^2 - 8|x| + 3 = 0$
а) x ≥ 0
$5x^2 - 8x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$
б) x < 0
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -0,6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 * 5} = \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$
Ответ: −1; −0,6; 0,6; 1.

$x|x| + 6x - 5 = 0$
а) x ≥ 0
$x * x + 6x - 5 = 0$
$x^2 + 6x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-5) = 36 + 20 = 56 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{56}}{2 * 1} = \frac{-6 + \sqrt{4 * 14}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{14}}{2} = \frac{2(-3 + \sqrt{14})}{2} = -3 + \sqrt{14}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{56}}{2 * 1} = \frac{-6 - \sqrt{4 * 14}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{14}}{2} = \frac{2(-3 - \sqrt{14})}{2} = -3 - \sqrt{14} < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0
$x * (-x) + 6x - 5 = 0$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * (-1) * (-5) = 36 - 20 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 * (-1)} = \frac{-6 + 4}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 * (-1)} = \frac{-6 - 4}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
Ответ: $-3 + \sqrt{14}$

$x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$
а) x > 0
$x^2 + \frac{4x^2}{x} - 12 = 0$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x > 0.
б) x < 0
$x^2 + \frac{4x^2}{-x} - 12 = 0$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$
Ответ: −2; 2.

$x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$
$x^2 - 8|x| + 15 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 - 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
б) x < 0
$x^2 + 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: −5; −3; 3; 5.

$x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$
$x^2 + 4|x| - 12 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 + 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0
$x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$
Ответ: −2; 2.