Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 (см) − длина прямоугольника.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 31)^2 = 41^2$
$x^2 + x^2 + 62x + 961 = 1681$
$2x^2 + 62x + 961 - 1681 = 0$
$2x^2 + 62x - 720 = 0$ |: 2
$x^2 + 31x - 360 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 * 1 * (-360) = 961 + 1440 = 2401 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 * 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 * 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$ − не удовлетворяет условию задачи, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 9 (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 = 9 + 31 = 40 (см) − длина прямоугольника.
Ответ: 9 см и 40 см