Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 (см) − длина прямоугольника.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2+(x+31{)}^2={41}^2$
$x^2+x^2+62x+961=1681$
$2x^2+62x+961-<!--\; -\; -->1681=0$
$2x^2+62x-<!--\; -\; -->720=0$ |: 2
$x^2+31x-<!--\; -\; -->360=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac={31}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->360)=961+1440=2401>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->31+\sqrt{2401}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->31+49}{2}=\frac{18}{2}=9$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->31-<!--\; -\; -->\sqrt{2401}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->31-<!--\; -\; -->49}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->80}{2}=-<!--\; -\; -->40$ − не удовлетворяет условию задачи, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 9 (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 31 = 9 + 31 = 40 (см) − длина прямоугольника.
Ответ: 9 см и 40 см