Пусть x (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 (см) − длина большего катета.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2+(x+14{)}^2={34}^2$
$x^2+x^2+28x+196=1156$
$2x^2+28x+196-<!--\; -\; -->1156=0$
$2x^2+28x-<!--\; -\; -->960=0$ |: 2
$x^2+14x-<!--\; -\; -->480=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac={14}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->480)=196+1920=2116>0$
$x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->14+\sqrt{2116}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->14+46}{2}=\frac{32}{2}=16$
$x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->14-<!--\; -\; -->\sqrt{2116}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->14-<!--\; -\; -->46}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->60}{2}=-<!--\; -\; -->30$ − не удовлетворяет условию задачи, так как длина катета не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 16 (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 = 16 + 14 = 30 (см) − длина большего катета.
Ответ: 16 см и 30 см