Пусть x (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 (см) − длина большего катета.
Так как, согласно теореме Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, можно составить уравнение:
$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$
$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$
$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$
$2x^2 + 28x - 960 = 0$ |: 2
$x^2 + 14x - 480 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * (-480) = 196 + 1920 = 2116 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{2116}}{2 * 1} = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{2116}}{2 * 1} = \frac{-14 - 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30$ − не удовлетворяет условию задачи, так как длина катета не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 16 (см) − длина меньшего катета, тогда:
x + 14 = 16 + 14 = 30 (см) − длина большего катета.
Ответ: 16 см и 30 см