Пусть n − искомое натуральное число, тогда:
$n^2$ − квадрат искомого числа.
Так как, квадрат числа на 42 больше самого числа, можно составить уравнение:
$n^2-<!--\; -\; -->n=42$
$n^2-<!--\; -\; -->n-<!--\; -\; -->42=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(-<!--\; -\; -->1{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->42)=1+168=169>0$
$n_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+\sqrt{169}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{1+13}{2}=\frac{14}{2}=7$
$n_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{169}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{1-<!--\; -\; -->13}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->12}{2}=-<!--\; -\; -->6$ − не подходит, так как не является натуральным числом.
Ответ: 7 − искомое натуральное число