$\frac{x-<!--\; -\; -->25}{\sqrt{x}-<!--\; -\; -->5}=\frac{(\sqrt{x}{)}^2-<!--\; -\; -->5^2}{\sqrt{x}-<!--\; -\; -->5}=\frac{(\sqrt{x}-<!--\; -\; -->5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-<!--\; -\; -->5}=\sqrt{x}+5$

$\frac{\sqrt{a}+2}{a-<!--\; -\; -->4}=\frac{\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}{)}^2-<!--\; -\; -->2^2}=\frac{\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}-<!--\; -\; -->2)(\sqrt{a}+2)}=\frac{1}{\sqrt{a}-<!--\; -\; -->2}$

$\frac{a-<!--\; -\; -->3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{a}{)}^2-<!--\; -\; -->(\sqrt{3}{)}^2}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}=\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2\ast <!--\; \ast \; -->5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}+1$

$\frac{23-<!--\; -\; -->\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\frac{(\sqrt{23}{)}^2-<!--\; -\; -->\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}(\sqrt{23}-<!--\; -\; -->1)}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}-<!--\; -\; -->1$

$\frac{\sqrt{24}-<!--\; -\; -->\sqrt{28}}{\sqrt{54}-<!--\; -\; -->\sqrt{63}}=\frac{\sqrt{4\ast <!--\; \ast \; -->6}-<!--\; -\; -->\sqrt{4\ast <!--\; \ast \; -->7}}{\sqrt{9\ast <!--\; \ast \; -->6}-<!--\; -\; -->\sqrt{9\ast <!--\; \ast \; -->7}}=\frac{2\sqrt{6}-<!--\; -\; -->2\sqrt{7}}{3\sqrt{6}-<!--\; -\; -->3\sqrt{7}}=\frac{2(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{7})}{3(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{7})}=\frac{2}{3}$

$\frac{\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{b}}{a-<!--\; -\; -->2\sqrt{ab}+b}=\frac{\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{b}}{(\sqrt{a}{)}^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{a}\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{b}{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{b}}$

$\frac{b-<!--\; -\; -->8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-<!--\; -\; -->4}=\frac{(\sqrt{b}{)}^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{b}\ast <!--\; \ast \; -->4+4^2}{\sqrt{b}-<!--\; -\; -->4}=\frac{(\sqrt{b}-<!--\; -\; -->4{)}^2}{\sqrt{b}-<!--\; -\; -->4}=\sqrt{b}-<!--\; -\; -->4$