$\frac{a^3-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->a+1}{a^3+a^2+a+1}=\frac{(a^3-<!--\; -\; -->a^2)-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->1)}{(a^3+a^2)+(a+1)}=\frac{a^2(a-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->1)}{a^2(a+1)+(a+1)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->1)(a^2-<!--\; -\; -->1)}{(a+1)(a^2+1)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->1)(a-<!--\; -\; -->1)(a+1)}{(a+1)(a^2+1)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->1{)}^2}{a^2+1}\ge 0$, так как:
$(a-<!--\; -\; -->1{)}^2\ge 0$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным;
$a^2+1>0$, так как сумма двух положительных чисел всегда больше 0.
Ответ: не существует такого значения a, при котором дробь принимает отрицательное значение.