$\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} = \frac{(a^3 - a^2) - (a - 1)}{(a^3 + a^2) + (a + 1)} = \frac{a^2(a - 1) - (a - 1)}{a^2(a + 1) + (a + 1)} = \frac{(a - 1)(a^2 - 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \frac{(a - 1)(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = \frac{(a - 1)^2}{a^2 + 1} ≥ 0$, так как:
$(a - 1)^2 ≥ 0$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным;
$a^2 + 1 > 0$, так как сумма двух положительных чисел всегда больше 0.
Ответ: не существует такого значения a, при котором дробь принимает отрицательное значение.