Проведем доказательство от противного. Допустим, что $\sqrt{3}$ рациональное число, то есть представляется в виде нескоратимой дроби $\frac{m}{n}$, где m и n − натуральные числа. Возведем предполагаемое равенсто в квадрат:
$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$
$(\sqrt{3})^2 = (\frac{m}{n})^2$
$3 = \frac{m^2}{n^2}$
$n^2 = 3m^2$
Отсюда следует, что $m^2$ кратно 3, значит, и m кратно 3 (если бы m не было кратно 3, то и $m^2$ не было кратно 3). Пусть m = 3r, где r − натуральное число. Тогда
$(3r)^2 = 3n^2$
$9r^2 = 3n^3$
$n^2 = 3r^2$
Следовательно, $n^2$ кратно 3, знаичт, и n кратно 3. Мы получили, что m и n кратны 3, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{3}$ − иррациональное число.