Предположим, что $\sqrt{n}$ − рациональное число, тогда его можно представить в виде $\sqrt{n} = \frac{a}{b}$
возведем данное равенство в квадрат:
$(\sqrt{n})^2 = (\frac{a}{b})^2$
$n = \frac{a^2}{b^2}$
$a^2 = nb^2$
$nb^2$ делится на n, поэтому $a^2$ также делится на n, значит и a делится на n. Аналогично и b делится на n. Поэтому, a и b имеют общий делитель n и дробь $\frac{a}{b}$ сократима, что противоречит условию.
Поэтому предположение, что $\sqrt{n}$ − рациональное число неверно и $\sqrt{n}$ − иррациональное число.