Предположим, что $\sqrt{n}$ − рациональное число, тогда его можно представить в виде $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$
возведем данное равенство в квадрат:
$(\sqrt{n}{)}^2=(\frac{a}{b}{)}^2$
$n=\frac{a^2}{b^2}$
$a^2=n{b}^2$
$n{b}^2$ делится на n, поэтому $a^2$ также делится на n, значит и a делится на n. Аналогично и b делится на n. Поэтому, a и b имеют общий делитель n и дробь $\frac{a}{b}$ сократима, что противоречит условию.
Поэтому предположение, что $\sqrt{n}$ − рациональное число неверно и $\sqrt{n}$ − иррациональное число.