Сумма и разность двух рациональных числе есть число рациональное.
Пусть:
q − число рациональное;
i − число иррациональное.
Докажем, что q + i является иррациональным числом.
Предположим, что q + i не является иррациональным числом, то q + i = x − рациональное число.
i = x − q − является рациональным число, так как является разностью двух рациональных чисел, по условию i − число иррациональное. Получили противоречие, поэтому предположение неверно и x − иррациональное число.
Значит, сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.