Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где x − целое число, a y − натуральное число.
Возьмем два рациональных числа $\frac{m_1}{n_1}$ и $\frac{m_2}{n_2}$.
1)
$\frac{m_1}{n_1}+\frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1{n}_2+n_1{m}_2}{n_1{n}_2}$
$m_1{n}_2$ и $n_1{m}_2$ являются целыми числами, произведение $n_1{n}_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1{n}_2+n_1{m}_2$ − целое число, так как является суммой двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1{n}_2+n_1{m}_2}{n_1{n}_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению яявляется рациональным числом. Поэтому сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
2)
$\frac{m_1}{n_1}-<!--\; -\; -->\frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1{n}_2-<!--\; -\; -->n_1{m}_2}{n_1{n}_2}$
$m_1{n}_2$ и $n_1{m}_2$ являются целыми числами, произведение $n_1{n}_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1{n}_2-<!--\; -\; -->n_1{m}_2$ − целое число, так как является разностью двух целых чисел.
Поэтому дробь $\frac{m_1{n}_2-<!--\; -\; -->n_1{m}_2}{n_1{n}_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению яявляется рациональным числом. Поэтому разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
3)
$\frac{m_1}{n_1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1{m}_2}{n_1{n}_2}$
Произведение $m_1{m}_2$ является целым числом, произведение $n_1{n}_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1{m}_2}{n_1{n}_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
4)
$\frac{m_1}{n_1}:\frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1}{n_1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{n_2}{m_2}=\frac{m_1{n}_2}{n_1{m}_2}$
Произведение $m_1{n}_2$ является целым числом, произведение $n_1{m}_2$ − натуральное число. Значит дробь $\frac{m_1{n}_2}{n_1{m}_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому частное двух рациональных чисел является рациональным числом.