$a\sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
если a = 0, то:
$0 * \sqrt{x - 1} = 0$ при всех допустимых значениях x.
если a ≠ 0, то:
$\sqrt{x - 1} = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ:
при a = 0: x ≥ 1;
при a ≠ 0: x = 1.

$\sqrt{(a - 1)x}$
имеет смысл при:
(a − 1)x ≥ 0
неравенство будет верным, если оба множителя будут либо неотрицательными, либо неположительными.
(a − 1)x = 0
a − 1 = 0
a = 1
или
x = 0
если a = 1, то:
(1 − 1)x = 0
0x = 0
0 = 0, значит x − любое число.
если a ≠ 1, то:
(a − 1)x = 0
x = 0
Ответ:
при a = 1: x − любое число;
при a ≠ 1: x = 0.

$a\sqrt{x - 1} = a$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
если a = 0, то:
$0 * \sqrt{x - 1} = 0$
0 = 0, значит x ≥ 1
если a ≠ 0, то:
$a\sqrt{x - 1} = a$
$\sqrt{x - 1} = \frac{a}{a}$
$\sqrt{x - 1} = 1$
x − 1 = 1
x = 1 + 1
x = 2
Ответ:
при a = 0: x ≥ 1;
при a ≠ 0: x = 2.

$\sqrt{x - 2} = a$
имеет смысл при
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
если a < 0, то:
$\sqrt{x - 2} < 0$ − нет корней.
если a ≥ 0, то:
$\sqrt{x - 2} = a$
$(\sqrt{x - 2})^2 = a^2$
$x - 2 = a^2$
$x = a^2 + 2$
Ответ:
при a < 0: корней нет;
при a ≥ 0: $x = a^2 + 2$.