$\sqrt{x} = -x$
имеет смысл при x ≥ 0

$\sqrt{x} + x = 0$
$\sqrt{x}(1 + \sqrt{x}) = 0$
$\sqrt{x} = 0$
x = 0
или
$1 + \sqrt{x} = 0$
$\sqrt{x} = -1$ − нет корней
Ответ: 0

$\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при:
x ≥ 0
и
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

$\sqrt{x} = -\sqrt{x - 1}$
$(\sqrt{x})^2 = (-\sqrt{x - 1})^2$
x = x − 1
x − x = −1
0 = −1 − нет корней
Ответ: нет корней

$\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при:
$x^2 - x ≥ 0$
x(x − 1) ≥ 0
x ≥ 0
и
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

$\sqrt{x^2 - x} = -\sqrt{x - 1}$
$(\sqrt{x^2 - x})^2 = (-\sqrt{x - 1})^2$
$x^2 - x = x - 1$
$x^2 - x - x + 1= 0$
$x^2 - 2x + 1= 0$
$(x - 1)^2 = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: 1

$\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0$
имеет смысл при:
$x^2 + 2x ≥ 0$
x(x + 2) ≥ 0
x ≥ 0
и
x + 2 ≥ 0
x ≥ −2
и
$x^2 - 4 ≥ 0$
$x^2 ≥ 4$
x ≥ ±2

$\sqrt{x^2 + 2x} = -\sqrt{x^2 - 4}$
$(\sqrt{x^2 + 2x})^2 = (-\sqrt{x^2 - 4})^2$
$x^2 + 2x = x^2 - 4$
$x^2 - x^2 + 2x + 4 = 0$
2x + 4 = 0
2x = −4
x = −2
Ответ: −2

$(x - 1)\sqrt{x + 1} = 0$
имеет смысл при
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1

x − 1 = 0
x = 1
или
$\sqrt{x + 1} = 0$
$(\sqrt{x + 1})^2 = 0^2$
x + 1 = 0
x = −1
Ответ: −1 и 1

$(x + 1)\sqrt{x - 1} = 0$
имеет смысл при
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

x + 1 = 0
x = −1 − не подходит
или
$\sqrt{x - 1} = 0$
$(\sqrt{x - 1})^2 = 0^2$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: 1