$a{b}^{-<!--\; -\; -->1}+a^{-<!--\; -\; -->1}b=a\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{b}+\frac{1}{a}b=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$

$3a^{-<!--\; -\; -->1}+a{b}^{-<!--\; -\; -->2}=3\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{a}+a\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{b^2}=\frac{3}{a}+\frac{a}{b^2}=\frac{3b^2+a^2}{a{b}^2}$

$m^2{n}^2(m^{-<!--\; -\; -->3}-<!--\; -\; -->n^{-<!--\; -\; -->3})=m^2{n}^2\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{m^3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{n^3})=m^2{n}^2\ast <!--\; \ast \; -->\frac{n^3-<!--\; -\; -->m^3}{m^3{n}^3}=\frac{n^3-<!--\; -\; -->m^3}{mn}$

$(a+b{)}^{-<!--\; -\; -->1}\ast <!--\; \ast \; -->(a^{-<!--\; -\; -->1}+b^{-<!--\; -\; -->1})=\frac{1}{a+b}\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{a+b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b+a}{ab}=\frac{1}{ab}$

$(c^{-<!--\; -\; -->2}-<!--\; -\; -->d^{-<!--\; -\; -->2}):(c+d)=(\frac{1}{c^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{d^2})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{c+d}=\frac{d^2-<!--\; -\; -->c^2}{c^2{d}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{c+d}=\frac{(d-<!--\; -\; -->c)(d+c)}{c^2{d}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{c+d}=\frac{d-<!--\; -\; -->c}{c^2{d}^2}$

$(x{y}^{-<!--\; -\; -->2}+x^{-<!--\; -\; -->2}y)\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2}{x}{)}^{-<!--\; -\; -->1}=(x\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ast <!--\; \ast \; -->y)\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x}{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2}=(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x}{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2}=\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x}{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2}=\frac{(x+y)(x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2)}{x{y}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{x^2-<!--\; -\; -->xy+y^2}=\frac{x+y}{x{y}^2}$