$a^{-<!--\; -\; -->2}+a^{-<!--\; -\; -->3}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}=\frac{a+1}{a^3}$

$m{n}^{-<!--\; -\; -->4}+m^{-<!--\; -\; -->4}n=m\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{n^4}+\frac{1}{m^4}\ast <!--\; \ast \; -->n=\frac{m}{n^4}+\frac{n}{m^4}=\frac{m^5+n^5}{m^4{n}^4}$

$(c^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->d^{-<!--\; -\; -->1})\ast <!--\; \ast \; -->(c-<!--\; -\; -->d{)}^{-<!--\; -\; -->2}=(\frac{1}{c}-<!--\; -\; -->\frac{1}{d})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{(c-<!--\; -\; -->d{)}^2}=\frac{d-<!--\; -\; -->c}{cd}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{(d-<!--\; -\; -->c{)}^2}=\frac{1}{cd}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{d-<!--\; -\; -->c}=\frac{1}{cd(d-<!--\; -\; -->c)}$

$(x^{-<!--\; -\; -->2}+y^{-<!--\; -\; -->2})\ast <!--\; \ast \; -->(x^2+y^2{)}^{-<!--\; -\; -->1}=(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{y^2+x^2}{x^2{y}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2{y}^2}$