$\frac{7a^2}{a^2-<!--\; -\; -->25}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5-<!--\; -\; -->a}{a}=\frac{7a}{(a-<!--\; -\; -->5)(a+5)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5-<!--\; -\; -->a}{1}=-<!--\; -\; -->\frac{7a}{(5-<!--\; -\; -->a)(a+5)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5-<!--\; -\; -->a}{1}=-<!--\; -\; -->\frac{7a}{a+5}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{1}=-<!--\; -\; -->\frac{7a}{a+5}$

$\frac{a^3+b^3}{a^3-<!--\; -\; -->b^3}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b-<!--\; -\; -->a}{b+a}=\frac{(a+b)(a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2)}{(a-<!--\; -\; -->b)(a^2+ab+b^2)}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b})=\frac{a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{1}{1})=-<!--\; -\; -->\frac{a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

$\frac{a^4-<!--\; -\; -->1}{a^3-<!--\; -\; -->a}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{1+a^2}=\frac{(a^2-<!--\; -\; -->1)(a^2+1)}{a(a^2-<!--\; -\; -->1)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a}{1+a^2}=\frac{1}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{1}=1$

$\frac{a^2-<!--\; -\; -->8ab}{12b}:\frac{8b^2-<!--\; -\; -->ab}{24a}=\frac{a(a-<!--\; -\; -->8b)}{12b}:\frac{b(8b-<!--\; -\; -->a)}{24a}=\frac{a(a-<!--\; -\; -->8b)}{12b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{24a}{b(8b-<!--\; -\; -->a)}=\frac{a(a-<!--\; -\; -->8b)}{12b}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{24a}{b(a-<!--\; -\; -->8b)})=\frac{a}{b}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{2a}{b})=-<!--\; -\; -->\frac{2a^2}{b^2}$

$\frac{5m^2-<!--\; -\; -->5n^2}{m^2+n^2}:\frac{15n-<!--\; -\; -->15m}{4m^2+4n^2}=\frac{5(m^2-<!--\; -\; -->n^2)}{m^2+n^2}:\frac{15(n-<!--\; -\; -->m)}{4(m^2+n^2)}=\frac{5(m-<!--\; -\; -->n)(m+n)}{m^2+n^2}:(-<!--\; -\; -->\frac{15(m-<!--\; -\; -->n)}{4(m^2+n^2)})=\frac{5(m-<!--\; -\; -->n)(m+n)}{m^2+n^2}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{4(m^2+n^2)}{15(m-<!--\; -\; -->n)})=\frac{m+n}{1}\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{4}{3})=-<!--\; -\; -->\frac{4(m+n)}{3}$

$\frac{m{n}^2-<!--\; -\; -->36m}{m^3-<!--\; -\; -->8}:\frac{2n+12}{6m-<!--\; -\; -->12}=\frac{m(n^2-<!--\; -\; -->36)}{(m-<!--\; -\; -->2)(m^2+2m+4)}:\frac{2(n+6)}{6(m-<!--\; -\; -->2)}=\frac{m(n-<!--\; -\; -->6)(n+6)}{(m-<!--\; -\; -->2)(m^2+2m+4)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{6(m-<!--\; -\; -->2)}{2(n+6)}=\frac{m(n-<!--\; -\; -->6)}{m^2+2m+4}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3}{1}=\frac{3m(n-<!--\; -\; -->6)}{m^2+2m+4}$

$\frac{a^4-<!--\; -\; -->1}{a^2-<!--\; -\; -->a+1}:\frac{a-<!--\; -\; -->1}{a^3+1}=\frac{(a^2-<!--\; -\; -->1)(a^2+1)}{a^2-<!--\; -\; -->a+1}:\frac{a-<!--\; -\; -->1}{(a+1)(a^2-<!--\; -\; -->a+1)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->1)(a+1)(a^2+1)}{a^2-<!--\; -\; -->a+1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{(a+1)(a^2-<!--\; -\; -->a+1)}{a-<!--\; -\; -->1}=\frac{(a+1)(a^2+1)}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a+1}{1}=(a+1{)}^2(a^2+1)$

$\frac{4x^2-<!--\; -\; -->100}{6x}:(2x^2-<!--\; -\; -->20x+50)=\frac{4(x^2-<!--\; -\; -->25)}{6x}:2(x^2-<!--\; -\; -->10x+25)=\frac{2(x-<!--\; -\; -->5)(x+5)}{3x}:2(x-<!--\; -\; -->5{)}^2=\frac{2(x-<!--\; -\; -->5)(x+5)}{3x}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{2(x-<!--\; -\; -->5{)}^2}=\frac{x+5}{3x}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{x-<!--\; -\; -->5}=\frac{x+5}{3x(x-<!--\; -\; -->5)}$