$\frac{4-<!--\; -\; -->a}{8a^3}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{12a^5}{a^2-<!--\; -\; -->16}=\frac{4-<!--\; -\; -->a}{2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3a^2}{(a-<!--\; -\; -->4)(a+4)}=-<!--\; -\; -->\frac{a-<!--\; -\; -->4}{2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3a^2}{(a-<!--\; -\; -->4)(a+4)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{3a^2}{a+4}=-<!--\; -\; -->\frac{3a^2}{2(a+4)}$

$\frac{4c-<!--\; -\; -->d}{c^2+cd}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{2c^2-<!--\; -\; -->2d^2}{4c^2-<!--\; -\; -->cd}=\frac{4c-<!--\; -\; -->d}{c(c+d)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{2(c^2-<!--\; -\; -->d^2)}{c(4c-<!--\; -\; -->d)}=\frac{1}{c(c+d)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{2(c-<!--\; -\; -->d)(c+d)}{c}=\frac{1}{c}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{2(c-<!--\; -\; -->d)}{c}=\frac{2(c-<!--\; -\; -->d)}{c^2}$

$\frac{b^2-<!--\; -\; -->6b+9}{b^2-<!--\; -\; -->3b+9}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b^3+27}{5b-<!--\; -\; -->15}=\frac{(b-<!--\; -\; -->3{)}^2}{b^2-<!--\; -\; -->3b+9}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{(b+3)(b^2-<!--\; -\; -->3b+9)}{5(b-<!--\; -\; -->3)}=\frac{b-<!--\; -\; -->3}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b+3}{5}=\frac{b^2-<!--\; -\; -->9}{5}$

$\frac{a^3-<!--\; -\; -->16a}{3a^{2}b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{12a{b}^2}{4a+16}=\frac{a(a^2-<!--\; -\; -->16)}{a}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{4b}{4(a+4)}=\frac{(a-<!--\; -\; -->4)(a+4)}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b}{a+4}=\frac{a-<!--\; -\; -->4}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{b}{1}=b(a-<!--\; -\; -->4)$

$\frac{a^3+b^3}{a^2-<!--\; -\; -->b^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{7a-<!--\; -\; -->7b}{a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2}=\frac{(a+b)(a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2)}{(a-<!--\; -\; -->b)(a+b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{7(a-<!--\; -\; -->b)}{a^2-<!--\; -\; -->ab+b^2}=\frac{1}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{7}{1}=7$

$\frac{x^2-<!--\; -\; -->9}{x+y}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5x+5y}{x^2-<!--\; -\; -->3x}=\frac{(x-<!--\; -\; -->3)(x+3)}{x+y}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5(x+y)}{x(x-<!--\; -\; -->3)}=\frac{x+3}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{5}{x}=\frac{5(x+3)}{x}$

$\frac{m+2n}{2-<!--\; -\; -->3m}:\frac{m^2+4mn+4n^2}{3m^2-<!--\; -\; -->2m}=\frac{m+2n}{2-<!--\; -\; -->3m}:\frac{(m+2n{)}^2}{m(3m-<!--\; -\; -->2)}=-<!--\; -\; -->\frac{m+2n}{3m-<!--\; -\; -->2n}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{m(3m-<!--\; -\; -->2)}{(m+2n{)}^2}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{1}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{m}{m+2n}=-<!--\; -\; -->\frac{m}{m+2n}$

$\frac{a^3+8}{16-<!--\; -\; -->a^4}:\frac{a^2-<!--\; -\; -->2a+4}{a^2+4}=\frac{(a+2)(a^2-<!--\; -\; -->2a+4)}{(4-<!--\; -\; -->a^2)(4+a^2)}:\frac{a^2-<!--\; -\; -->2a+4}{a^2+4}=\frac{(a+2)(a^2-<!--\; -\; -->2a+4)}{(2-<!--\; -\; -->a)(2+a)(4+a^2)}:\frac{a^2-<!--\; -\; -->2a+4}{a^2+4}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->2a+4}{(2-<!--\; -\; -->a)(4+a^2)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a^2+4}{a^2-<!--\; -\; -->2a+4}=\frac{1}{2-<!--\; -\; -->a}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{1}{1}=\frac{1}{2-<!--\; -\; -->a}$

$\frac{x^2-<!--\; -\; -->12x+36}{3x+21}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x^2-<!--\; -\; -->49}{4x-<!--\; -\; -->24}=\frac{(x-<!--\; -\; -->6{)}^2}{3(x+7)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->7)(x+7)}{4(x-<!--\; -\; -->6)}=\frac{x-<!--\; -\; -->6}{3}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{x-<!--\; -\; -->7}{4}=\frac{(x-<!--\; -\; -->6)(x-<!--\; -\; -->7)}{12}$

$\frac{3a+15b}{a^2-<!--\; -\; -->81b^2}:\frac{4a+20b}{a^2-<!--\; -\; -->18ab+81b^2}=\frac{3(a+5b)}{(a-<!--\; -\; -->9b)(a+9b)}:\frac{4(a+5b)}{(a-<!--\; -\; -->9b{)}^2}=\frac{3(a+5b)}{(a-<!--\; -\; -->9b)(a+9b)}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{(a-<!--\; -\; -->9b{)}^2}{4(a+5b)}=\frac{3}{a+9b}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->9b}{4}=\frac{3(a-<!--\; -\; -->9b)}{4(a+9b)}$