$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=(a+9{)}^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(a^2+2a)=a^2+18a+81-<!--\; -\; -->4a^2-<!--\; -\; -->8a=-<!--\; -\; -->3a^2+10a+81$
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0, тогда:
$-<!--\; -\; -->3a^2+10a+81\ge 0$
по условию:
$x_1{x}_2=15$
по теореме Виета:
$x_1{x}_2=c$
$x_1{x}_2=a^2+2a$
$a^2+2a=15$
$a^2+2a-<!--\; -\; -->15=0$
$D=b^2-<!--\; -\; -->4ac=2^2-<!--\; -\; -->4\ast <!--\; \ast \; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->15)=4+60=64>0$
$a_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2+\sqrt{64}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2+8}{2}=\frac{6}{2}=3$
$a_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{D}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{64}}{2\ast <!--\; \ast \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->8}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->10}{2}=-<!--\; -\; -->5$
проверим условие, что $-<!--\; -\; -->3a^2+10a+81\ge 0$:
при a = 3:
$-<!--\; -\; -->3\ast <!--\; \ast \; -->3^2+10\ast <!--\; \ast \; -->3+81=-<!--\; -\; -->3\ast <!--\; \ast \; -->9+30+81=-<!--\; -\; -->27+111=84\ge 0$
при a = −5:
$-<!--\; -\; -->3\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->5{)}^2+10\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->5)+81=-<!--\; -\; -->3\ast <!--\; \ast \; -->25-<!--\; -\; -->50+81=-<!--\; -\; -->75+31=-<!--\; -\; -->44<0$ − не удовлетворяет условию.
Ответ: при a = 3