$x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (a + 9)^2 - 4 * 1 * (a^2 + 2a) = a^2 + 18a + 81 - 4a^2 - 8a = -3a^2 +10a + 81$
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0, тогда:
$-3a^2 +10a + 81 ≥ 0$
по условию:
$x_1x_2 = 15$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = a^2 + 2a$
$a^2 + 2a = 15$
$a^2 + 2a - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
проверим условие, что $-3a^2 +10a + 81 ≥ 0$:
при a = 3:
$-3 * 3^2 +10 * 3 + 81 = -3 * 9 + 30 + 81 = -27 + 111 = 84 ≥ 0$
при a = −5:
$-3 * (-5)^2 +10 * (-5) + 81 = -3 * 25 - 50 + 81 = -75 + 31 = -44 < 0$ − не удовлетворяет условию.
Ответ: при a = 3