Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) если число m является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число −m является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;
2) если число m является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где c ≠ 0, то $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?
Пусть m − корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_1 = m$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$m + x_2 = -\frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$mx_2 = \frac{c}{a}$.
Пусть −m − корень уравнения $ax^2 - bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 - \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_3 = -m$
по теореме Виета:
$x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$
$-m + x_4 = -(-\frac{b}{a})$
$-m + x_4 = \frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_3x_4 = \frac{c}{a}$
$-mx_4 = \frac{c}{a}$
отсюда видно, что:
$m + x_2 = -(-m + x_4)$
$m + x_2 = m - x_4$
$x_2 = -x_4$
и
$mx_2 = -mx_4$
$x_2 = -x_4$
Ответ: утверждение верно
Пусть m − корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_1 = m$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$m + x_2 = -\frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$mx_2 = \frac{c}{a}$
Пусть $\frac{1}{m}$ − корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c} = 0$
$x_3 = \frac{1}{m}$
по теореме Виета:
$x_3 + x_4 = -\frac{b}{c}$
$\frac{1}{m} + x_4 = -\frac{b}{c}$
по теореме Виета:
$x_3x_4 = \frac{a}{c}$
$\frac{1}{m}x_4 = \frac{a}{c}$
имеем:
$\begin{equation*}
\begin{cases}
a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + x_4) &\\
\frac{1}{mx_2} = \frac{x_4}{m} &
\end{cases}
\end{equation*}$
$\begin{equation*}
\begin{cases}
a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + x_4) &\\
x_4 = \frac{m}{mx_2} = \frac{1}{x_2} &
\end{cases}
\end{equation*}$
$a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + \frac{1}{x_2})$ − равенство неверно
Ответ: утверждение неверно
Пожауйста, оцените решение
