$\sqrt{(\sqrt{x} + 5)^2 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{(\sqrt{x} - 4)^2 + 16\sqrt{x}} = \sqrt{x + 10\sqrt{x} + 25 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{x - 8\sqrt{x} + 16 + 16\sqrt{x}} = \sqrt{x - 10\sqrt{x} + 25} + \sqrt{x + 8\sqrt{x} + 16} = \sqrt{(\sqrt{x} - 5)^2} + \sqrt{(\sqrt{x} + 4)^2} = |\sqrt{x} - 5| + |\sqrt{x} + 4|$
1)
если $\sqrt{x} - 5 ≥ 0$, то и $\sqrt{x} + 4 > 0$, тогда:
$|\sqrt{x} - 5| + |\sqrt{x} + 4| = \sqrt{x} - 5 + \sqrt{x} + 4 = 2\sqrt{x} - 1$
2)
если $\sqrt{x} - 5 < 0$ и $\sqrt{x} + 4 > 0$, тогда:
$|\sqrt{x} - 5| + |\sqrt{x} + 4| = -(\sqrt{x} - 5) + \sqrt{x} + 4 = -\sqrt{x} + 5 + \sqrt{x} + 4 = 9$
3)
если $\sqrt{x} - 5 < 0$ и $\sqrt{x} + 4 < 0$, тогда:
$|\sqrt{x} - 5| + |\sqrt{x} + 4| = -(\sqrt{x} - 5) - (\sqrt{x} + 4) = -\sqrt{x} + 5 - \sqrt{x} - 4 = -2\sqrt{x} + 1$

$\sqrt{a + 2\sqrt{a + 3} + 4} + \sqrt{a - 2\sqrt{a + 3} + 4} = \sqrt{a + 3 + 2\sqrt{a + 3} + 1} + \sqrt{a + 3 - 2\sqrt{a + 3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{a + 3})^2 + 2\sqrt{a + 3} + 1} + \sqrt{(\sqrt{a + 3})^2 - 2\sqrt{a + 3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{a + 3} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a + 3} - 1)^2} = \sqrt{a + 3} + 1 + |\sqrt{a + 3} - 1|$
a + 3 ≥ 0
a ≥ −3
1)
если $\sqrt{a + 3} - 1 ≥ 0$, то:
$\sqrt{a + 3} ≥ 1$
a + 3 ≥ 1
a ≥ 1 − 3
a ≥ −2, значит:
−3 ≤ a ≤ −2
$\sqrt{a + 3} + 1 + |\sqrt{a + 3} - 1| = \sqrt{a + 3} + 1 - \sqrt{a + 3} - 1 = 2$
2)
если a > −2:
$\sqrt{a + 3} + 1 + |\sqrt{a + 3} - 1| = \sqrt{a + 3} + 1 + \sqrt{a + 3} - 1 = 2\sqrt{a + 3}$