$\sqrt{18+8\sqrt{2}}=\sqrt{16+2+2\ast <!--\; \ast \; -->4\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}}=\sqrt{4^2+2\ast <!--\; \ast \; -->4\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{(4+\sqrt{2}{)}^2}=|4+\sqrt{2}|=4+\sqrt{2}$

$\sqrt{38-<!--\; -\; -->12\sqrt{2}}=\sqrt{36+2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->6\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}}=\sqrt{6^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->6\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{(6-<!--\; -\; -->\sqrt{2}{)}^2}=|6-<!--\; -\; -->\sqrt{2}|=6-<!--\; -\; -->\sqrt{2}$

$\sqrt{16+6\sqrt{7}}+\sqrt{23-<!--\; -\; -->8\sqrt{7}}=\sqrt{9+7+2\ast <!--\; \ast \; -->3\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{7}}+\sqrt{16+7-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->4\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{7}}=\sqrt{3^2+2\ast <!--\; \ast \; -->3\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{2}+(\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{4^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->4\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{7}+(\sqrt{7}{)}^2}=\sqrt{(3+\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(4-<!--\; -\; -->\sqrt{7}{)}^2}=|3+\sqrt{7}|+|4-<!--\; -\; -->\sqrt{7}|=3+\sqrt{7}+4-<!--\; -\; -->\sqrt{7}=7$

$\sqrt{26-<!--\; -\; -->6\sqrt{17}}-<!--\; -\; -->\sqrt{66-<!--\; -\; -->14\sqrt{17}}=\sqrt{9+17-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->3\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{17}}-<!--\; -\; -->\sqrt{49+17-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->7\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{17}}=\sqrt{3^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->3\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{17}+(\sqrt{17}{)}^2}-<!--\; -\; -->\sqrt{7^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->7\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{17}+(\sqrt{17}{)}^2}=\sqrt{(3-<!--\; -\; -->\sqrt{17}{)}^2}-<!--\; -\; -->\sqrt{(7-<!--\; -\; -->\sqrt{17}{)}^2}=|3-<!--\; -\; -->\sqrt{17}|-<!--\; -\; -->|7-<!--\; -\; -->\sqrt{17}|=-<!--\; -\; -->3+\sqrt{17}-<!--\; -\; -->7+\sqrt{17}=2\sqrt{17}-<!--\; -\; -->10$

$\sqrt{46+10\sqrt{21}}+\sqrt{46-<!--\; -\; -->10\sqrt{21}}=\sqrt{25+21+2\ast <!--\; \ast \; -->5\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{21}}+\sqrt{25+21-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->5\sqrt{21}}=\sqrt{5^2+2\ast <!--\; \ast \; -->5\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{21}+(\sqrt{21}{)}^2}+\sqrt{5^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->5\sqrt{21}+(\sqrt{21}{)}^2}=\sqrt{(5+\sqrt{21}{)}^2}+\sqrt{(5-<!--\; -\; -->\sqrt{21}{)}^2}=|5+\sqrt{21}|+|5-<!--\; -\; -->\sqrt{21}|=5+\sqrt{21}+5-<!--\; -\; -->\sqrt{21}=10$