$\frac{8n-<!--\; -\; -->9}{n}=\frac{8n}{n}-<!--\; -\; -->\frac{9}{n}=8-<!--\; -\; -->\frac{9}{n}$ − будет целым числом, если 9 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 3; 9.

$\frac{n^2+2n-<!--\; -\; -->8}{n}=\frac{n^2+2n-<!--\; -\; -->8}{n}=\frac{(n^2+2n)-<!--\; -\; -->8}{n}=\frac{n(n+2)-<!--\; -\; -->8}{n}=\frac{n(n+2)}{n}-<!--\; -\; -->\frac{8}{n}=n+2-<!--\; -\; -->\frac{8}{n}$ − будет целым числом, если 8 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 4; 8.

$\frac{9n-<!--\; -\; -->4}{3n-<!--\; -\; -->5}=\frac{9n-<!--\; -\; -->15+15+4}{3n-<!--\; -\; -->5}=\frac{(9n-<!--\; -\; -->15)+(15-<!--\; -\; -->4)}{3n-<!--\; -\; -->5}=\frac{3(3n-<!--\; -\; -->5)+11}{3n-<!--\; -\; -->5}=\frac{3(3n-<!--\; -\; -->5)}{3n-<!--\; -\; -->5}+\frac{11}{3n-<!--\; -\; -->5}=3+\frac{11}{3n-<!--\; -\; -->5}$ − будет целым числом, если 11 делится нацело на 3n − 5, то есть 3n − 5 равно либо ±1, либо ±11.
Тогда:
3n − 5 = −11
3n = −11 + 5
3n = −6
n = −2 − не подходит, так как −2 не является натуральным числом −2 ∉ N.

3n − 5 = −1
3n − 5 = −1 + 5
3n = 4
$n=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $1\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $1\frac{1}{3}$ ∉ N.

3n − 5 = 1
3n = 1 + 5
3n = 6
n = 2

3n − 5 = 11
3n = 11 + 5
3n = 16
$n=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $5\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $5\frac{1}{3}$ ∉ N.
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 2.