$\frac{8n - 9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n}$ − будет целым числом, если 9 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 3; 9.

$\frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{(n^2 + 2n) - 8}{n} = \frac{n(n + 2) - 8}{n} = \frac{n(n + 2)}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n}$ − будет целым числом, если 8 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 4; 8.

$\frac{9n - 4}{3n - 5} = \frac{9n - 15 + 15 + 4}{3n - 5} = \frac{(9n - 15) + (15 - 4)}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5) + 11}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5)}{3n - 5} + \frac{11}{3n - 5} = 3 + \frac{11}{3n - 5}$ − будет целым числом, если 11 делится нацело на 3n − 5, то есть 3n − 5 равно либо ±1, либо ±11.
Тогда:
3n − 5 = −11
3n = −11 + 5
3n = −6
n = −2 − не подходит, так как −2 не является натуральным числом −2 ∉ N.

3n − 5 = −1
3n − 5 = −1 + 5
3n = 4
$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $1\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $1\frac{1}{3}$ ∉ N.

3n − 5 = 1
3n = 1 + 5
3n = 6
n = 2

3n − 5 = 11
3n = 11 + 5
3n = 16
$n = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $5\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $5\frac{1}{3}$ ∉ N.
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 2.