$\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{n+6}{n}$ − будет целым числом, если 6 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 3; 6.

$\frac{3n^2-<!--\; -\; -->4n-<!--\; -\; -->14}{n}=\frac{(3n^2-<!--\; -\; -->4n)-<!--\; -\; -->14}{n}=\frac{n(3n-<!--\; -\; -->4)-<!--\; -\; -->14}{n}=\frac{n(3n-<!--\; -\; -->4)}{n}-<!--\; -\; -->\frac{14}{n}=3n-<!--\; -\; -->4-<!--\; -\; -->\frac{14}{n}$ − будет целым числом, если 14 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 7; 14.

$\frac{4n+7}{2n-<!--\; -\; -->3}=\frac{4n-<!--\; -\; -->6+6+7}{2n-<!--\; -\; -->3}=\frac{(4n-<!--\; -\; -->6)+(6+7)}{2n-<!--\; -\; -->3}=\frac{(4n-<!--\; -\; -->6)+13}{2n-<!--\; -\; -->3}=\frac{2(2n-<!--\; -\; -->3)+13}{2n-<!--\; -\; -->3}=\frac{2(2n-<!--\; -\; -->3)}{2n-<!--\; -\; -->3}+\frac{13}{2n-<!--\; -\; -->3}=2+\frac{13}{2n-<!--\; -\; -->3}$ − будет целым числом, если 13 делится нацело на 2n − 3, то есть 2n − 3 равно либо ±1, либо ±13.
Тогда:
2n − 3 = −13
2n = −13 + 3
2n = −10
n = −5 − не подходит, так как −5 не является натуральным числом −5 ∉ N.

2n − 3 = −1
2n = −1 + 3
2n = 2
n = 1

2n − 3 = 1
2n = 1 + 3
2n = 4
n = 2

2n − 3 = 13
2n = 13 + 3
2n = 16
n = 8
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 8.