Пусть x (ч) − выполняет задание первый рабочий, тогда:
x + 12 (ч) − выполняет задание второй рабочий;
x − 4 (ч) − выполняют задание оба рабочих одновременно;
$\frac{1}{x}$ (задания) − в час выполняет первый рабочий;
$\frac{1}{x + 12}$ (задания) − в час выполняет второй рабочий;
$\frac{1}{x - 4}$ (задания) − в час выполняют оба рабочих одновременно.
Так как, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания, можно составить уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{x - 4}$
x ≠ 0
и
x + 12 ≠ 0
x ≠ −12
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} - \frac{1}{x - 4} = 0$ | * x(x + 12)(x − 4)
(x + 12)(x − 4) + x(x − 4) − x(x + 12) = 0
$x^2 + 12x - 4x - 48 + x^2 - 4x - x^2 - 12x = 0$
$x^2 - 8x - 48 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не является решением, так как время не может быть отрицательным, тогда:
x = 12 (детали) − выполняет задание первый рабочий.
Ответ: за 12 часов