Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:
а) $ac + \frac{b}{c} ≥ 2\sqrt{ab}$;
б) $(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) ≥ 8$.
$ac + \frac{b}{c} ≥ 2\sqrt{ab}$
$ac + \frac{b}{c} ≥ 2\sqrt{ac * \frac{b}{c}}$
$ac + \frac{b}{c} ≥ 2\sqrt{ab}$
Неравенство доказано.
$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) ≥ 8$
$\begin{equation*}
\begin{cases}
1 + \frac{a^2}{bc} ≥ 2\sqrt{1 * \frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}} &\\
1 + \frac{b^2}{ac} ≥ 2\sqrt{1 * \frac{b^2}{ac}} = \frac{2b}{\sqrt{ac}} &\\
1 + \frac{c^2}{ab} ≥ 2\sqrt{1 * \frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}} &
\end{cases}
\end{equation*}$
$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) ≥ \frac{2a}{\sqrt{bc}} * \frac{2b}{\sqrt{ac}} * \frac{2c}{\sqrt{ab}} = \frac{8abc}{abc} = 8$
Неравенство доказано.
Пожауйста, оцените решение
