$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ≥ 4$
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.
$\begin{equation*} \begin{cases} a + b ≥ 2\sqrt{ab} &\\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ≥ 2\sqrt{\frac{1}{ab}} & \end{cases} \end{equation*}$
$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ≥ 2\sqrt{ab} * 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$
$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ≥ 4$
Неравенство доказано.

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} ≥ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) ≥ 0$
$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} - \frac{a + b}{ab} = \frac{a^3 + b^3 - a^2b - ab^2}{a^2b^2} = \frac{a^2(a - b) - b^2(a - b)}{a^2b^2} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{a^2b^2} = \frac{(a - b)^2(a + b)}{a^2b^2} ≥ 0$
Неравенство доказано.