Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство:
а)

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

;
б)

\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 10. Номер №926

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.

{\begin{cases} a + b \geq 2 \sqrt{a b} \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a b}} \end{cases}

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 \sqrt{a b} * 2 \sqrt{\frac{1}{a b}}

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

Неравенство доказано.

\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 0

\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} b^{2}} - \frac{a + b}{a b} = \frac{a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b)}{a^{2} b^{2}} = \frac{(a^{2} - b^{2}) (a - b)}{a^{2} b^{2}} = \frac{(a - b)^{2} (a + b)}{a^{2} b^{2}} \geq 0

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова