Докажите, что при любом a, большем 1, верно неравенство

\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №913

\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}

Умножим неравенство на сопряженную сумму

(\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1})

. Она положительна и знак неравенства не изменится:

\frac{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}}{\sqrt{a}} < (\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}) (\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}) = (a + 1) - (a - 1) = a + 1 - a + 1 = 2

\sqrt{\frac{a + 1}{a}} + \sqrt{\frac{a - 1}{a}} < 2

\sqrt{1 + \frac{1}{a}} + \sqrt{1 - \frac{1}{a}} < 2

Представим корень

\sqrt{1 + \frac{1}{a}}

как среднее геометрическое

1 + \frac{1}{a}

и 1. Тогда его верхняя оценка:

\sqrt{1 + \frac{1}{a}} < \frac{1 + \frac{1}{a} + 1}{2} = 1 + \frac{1}{2 a}

Аналогично:

\sqrt{1 - \frac{1}{a}} < \frac{1 - \frac{1}{a} + 1}{2} = 1 - \frac{1}{2 a}

Тогда для суммы:

\sqrt{1 + \frac{1}{a}} + \sqrt{1 - \frac{1}{a}} < 1 + \frac{1}{2 a} + 1 - \frac{1}{2 a} = 2

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, 2013