$\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1}$
Умножим неравенство на сопряженную сумму $(\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1})$. Она положительна и знак неравенства не изменится:
$\frac{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}}{\sqrt{a}} < (\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1})(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}) = (a + 1) - (a - 1) = a + 1 - a + 1 = 2$
$\sqrt{\frac{a + 1}{a}} + \sqrt{\frac{a - 1}{a}} < 2$
$\sqrt{1 + \frac{1}{a}} + \sqrt{1 - \frac{1}{a}} < 2$
Представим корень $\sqrt{1 + \frac{1}{a}}$ как среднее геометрическое $1 + \frac{1}{a}$ и 1. Тогда его верхняя оценка:
$\sqrt{1 + \frac{1}{a}} < \frac{1 + \frac{1}{a} + 1}{2} = 1 + \frac{1}{2a}$
Аналогично:
$\sqrt{1 - \frac{1}{a}} < \frac{1 - \frac{1}{a} + 1}{2} = 1 - \frac{1}{2a}$
Тогда для суммы:
$\sqrt{1 + \frac{1}{a}} + \sqrt{1 - \frac{1}{a}} < 1 + \frac{1}{2a} + 1 - \frac{1}{2a} = 2$
Неравенство доказано.