Докажите, что если x + y + z = 1, то

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 5

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №912

Способ 1.

\sqrt{4 x + 1} \leq \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}

\sqrt{4 x + 1} \leq \sqrt{(2 x + 1)^{2}}

\sqrt{4 x + 1} \leq | 2 x + 1 |

Допустимое значение x:
4x + 1 ≥ 0

x \geq - \frac{1}{4}

|*2

2 x \geq - \frac{1}{2}

2 x + 1 \geq - \frac{1}{2} + 1

2 x + 1 \geq \frac{1}{2}

2 x + 1 > 0

− положительно, значит:
|2x + 1| = 2x + 1 и оценка для корня:

\sqrt{4 x + 1} \leq 2 x + 1

Для суммы корней:

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 (x + y + z) + 3

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 + 3

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 5

Неравенство доказано.

Способ 2.
Можно представить

\sqrt{4 x + 1}

как среднее геометрическое между 4x + 1 и 1.
Тогда получаем оценку для корней:

\sqrt{4 x + 1} \leq \frac{4 x + 1 + 1}{2}

\sqrt{4 x + 1} \leq 2 x + 1

,
которая равна полученной выше.
Для суммы корней:

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 (x + y + z) + 3

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 2 + 3

\sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 y + 1} + \sqrt{4 z + 1} \leq 5

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова