Способ 1.
$\sqrt{4x + 1} ≤ \sqrt{4x^2 + 4x + 1}$
$\sqrt{4x + 1} ≤ \sqrt{(2x + 1)^2}$
$\sqrt{4x + 1} ≤ |2x + 1|$
Допустимое значение x:
4x + 1 ≥ 0
$x ≥ -\frac{1}{4}$ |*2
$2x ≥ -\frac{1}{2}$
$2x + 1 ≥ -\frac{1}{2} + 1$
$2x + 1 ≥ \frac{1}{2}$
$2x + 1 > 0$ − положительно, значит:
|2x + 1| = 2x + 1 и оценка для корня:
$\sqrt{4x + 1} ≤ 2x + 1$
Для суммы корней:
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2x + 1 + 2y + 1 + 2z + 1$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2(x + y + z) + 3$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2 + 3$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 5$
Неравенство доказано.
 
Способ 2.
Можно представить $\sqrt{4x + 1}$ как среднее геометрическое между 4x + 1 и 1.
Тогда получаем оценку для корней:
$\sqrt{4x + 1} ≤ \frac{4x + 1 + 1}{2}$
$\sqrt{4x + 1} ≤ 2x + 1$,
которая равна полученной выше.
Для суммы корней:
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2x + 1 + 2y + 1 + 2z + 1$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2(x + y + z) + 3$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 2 + 3$
$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} ≤ 5$
Неравенство доказано.