$(\frac{a + b}{2})^3 ≤ \frac{a^3 + b^3}{2}$; a > 0, b > 0.
$(\frac{a + b}{2})^3 = \frac{a^3 + b^3 + 3ab(a + b)}{8}$
$(\frac{a + b}{2})^3 ≤ \frac{a^3 + b^3}{2}$
$\frac{a^3 + b^3}{2} - (\frac{a + b}{2})^3 ≥ 0$
Докажем, что разность неотрицательна:
$\frac{a^3 + b^3}{2} - (\frac{a + b}{2})^3 = \frac{a^3 + b^3}{2} - \frac{a^3 + b^3}{8} - \frac{3ab(a + b)}{8} = \frac{3}{8}(a^3 + b^3 - ab(a + b)) = \frac{3}{8}(a^2(a - b) - b^2(a - b)) = \frac{3}{8}(a^2 - b^2)(a - b) = \frac{3}{8}(a - b)^2(a + b) ≥ 0$
Неравенство доказано