Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №909

(\frac{a + b}{2})^{3} \leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2}

; a > 0, b > 0.

(\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)}{8}

(\frac{a + b}{2})^{3} \leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2}

\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} \geq 0

Докажем, что разность неотрицательна:

\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{a^{3} + b^{3}}{2} - \frac{a^{3} + b^{3}}{8} - \frac{3 a b (a + b)}{8} = \frac{3}{8} (a^{3} + b^{3} - a b (a + b)) = \frac{3}{8} (a^{2} (a - b) - b^{2} (a - b)) = \frac{3}{8} (a^{2} - b^{2}) (a - b) = \frac{3}{8} (a - b)^{2} (a + b) \geq 0

Неравенство доказано

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова