$\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} ≥ 6$, если a > 0, b > 0, с > 0.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:
$\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} = \frac{ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c)}{abc} = \frac{a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2}{abc} = \frac{1}{abc}((a^2b + bc^2) + (ab^2 + ac^2) + (a^2c + b^2c)) ≥ \frac{1}{abc}(2\sqrt{a^2b * bc^2} + 2\sqrt{ab^2 * ac^2} + 2\sqrt{a^2c * b^2c}) = \frac{1}{abc} * 6abc = 6$
$\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} ≥ 6$
Неравенство доказано.

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:
$(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 2\sqrt{a} * 2\sqrt{b} * 2\sqrt{c} = 8\sqrt{abc}$
при abc = 9:
$8\sqrt{abc} = 8\sqrt{9} = 8 * 3 = 24$
(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24
Неравенство доказано.