ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №908

Докажите, что:
а)

a + b c + b + c a + a + c b 6
, если a > 0, b > 0, с > 0;
б) (1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.

Решение а

a + b c + b + c a + a + c b 6
, если a > 0, b > 0, с > 0.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:
a + b c + b + c a + a + c b = a b ( a + b ) + b c ( b + c ) + a c ( a + c ) a b c = a 2 b + a b 2 + b 2 c + b c 2 + a 2 c + a c 2 a b c = 1 a b c ( ( a 2 b + b c 2 ) + ( a b 2 + a c 2 ) + ( a 2 c + b 2 c ) ) 1 a b c ( 2 a 2 b b c 2 + 2 a b 2 a c 2 + 2 a 2 c b 2 c ) = 1 a b c 6 a b c = 6

a + b c + b + c a + a + c b 6

Неравенство доказано.

Решение б

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:

( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) > 2 a 2 b 2 c = 8 a b c

при abc = 9:
8 a b c = 8 9 = 8 3 = 24

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24
Неравенство доказано.




Instagram line