Докажите, что:
а)

\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6

, если a > 0, b > 0, с > 0;
б) (1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №908

\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6

, если a > 0, b > 0, с > 0.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:

\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} = \frac{a b (a + b) + b c (b + c) + a c (a + c)}{a b c} = \frac{a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + a^{2} c + a c^{2}}{a b c} = \frac{1}{a b c} ((a^{2} b + b c^{2}) + (a b^{2} + a c^{2}) + (a^{2} c + b^{2} c)) \geq \frac{1}{a b c} (2 \sqrt{a^{2} b * b c^{2}} + 2 \sqrt{a b^{2} * a c^{2}} + 2 \sqrt{a^{2} c * b^{2} c}) = \frac{1}{a b c} * 6 a b c = 6

\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6

Неравенство доказано.

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24, если a > 0, b > 0, c > 0 и abc = 9.
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим:

(1 + a) (1 + b) (1 + c) > 2 \sqrt{a} * 2 \sqrt{b} * 2 \sqrt{c} = 8 \sqrt{a b c}

при abc = 9:

8 \sqrt{a b c} = 8 \sqrt{9} = 8 * 3 = 24

(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24
Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова