(a + b)(ab + 16) ≥ 16ab
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab} &\\ \frac{ab + 16}{2} ≥ \sqrt{16ab} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} a + b ≥ 2\sqrt{ab} &\\ ab + 16 ≥ 8\sqrt{ab} & \end{cases} \end{equation*}$
$(a + b)(ab + 16) ≥ 2\sqrt{ab} * 8\sqrt{ab}$
$(a + b)(ab + 16) ≥ 16ab$
Неравенство доказано

$(a^2 + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab$
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{a^2 + 4b}{2} ≥ \sqrt{a^2 * 4b} &\\ \frac{4b + 25}{2} ≥ \sqrt{4b * 25} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{a^2 + 4b}{2} ≥ 2a\sqrt{b} &\\ \frac{4b + 25}{2} ≥ 10\sqrt{b} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} a^2 + 4b ≥ 4a\sqrt{b} &\\ 4b + 25 ≥ 20\sqrt{b} & \end{cases} \end{equation*}$
$(a^2 + 4b)(4b + 25) ≥ 4a\sqrt{b} * 20\sqrt{b}$
$(a^2 + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab$
Неравенство доказано