Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (a + b)(ab + 16) ≥ 16ab;
б)

(a^{2} + 4 b) (4 b + 25) \geq 80 a b

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №907

(a + b)(ab + 16) ≥ 16ab
Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.

{\begin{cases} \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} \\ \frac{a b + 16}{2} \geq \sqrt{16 a b} \end{cases}

{\begin{cases} a + b \geq 2 \sqrt{a b} \\ a b + 16 \geq 8 \sqrt{a b} \end{cases}

(a + b) (a b + 16) \geq 2 \sqrt{a b} * 8 \sqrt{a b}

(a + b) (a b + 16) \geq 16 a b

Неравенство доказано

(a^{2} + 4 b) (4 b + 25) \geq 80 a b

Используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.

{\begin{cases} \frac{a^{2} + 4 b}{2} \geq \sqrt{a^{2} * 4 b} \\ \frac{4 b + 25}{2} \geq \sqrt{4 b * 25} \end{cases}

{\begin{cases} \frac{a^{2} + 4 b}{2} \geq 2 a \sqrt{b} \\ \frac{4 b + 25}{2} \geq 10 \sqrt{b} \end{cases}

{\begin{cases} a^{2} + 4 b \geq 4 a \sqrt{b} \\ 4 b + 25 \geq 20 \sqrt{b} \end{cases}

(a^{2} + 4 b) (4 b + 25) \geq 4 a \sqrt{b} * 20 \sqrt{b}

(a^{2} + 4 b) (4 b + 25) \geq 80 a b

Неравенство доказано

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова