Докажите, что если x > 0 и y > 0, то:
а) $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} ≥ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$;
б) $\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} ≥ x + y$.
$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} ≥ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) ≥ 0$
$\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{x^3 + y^3 - xy^2 - yx^2}{x^2y^2} = \frac{x(x^2 - y^2) - y(x^2 - y^2)}{x^2y^2} = \frac{(x - y)(x^2 - y^2)}{x^2y^2} = \frac{(x - y)^2(x + y)}{x^2y^2} ≥ 0$
Неравенство доказано.
$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} ≥ x + y$
$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} - (x + y) ≥ 0$
$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} - (x + y) = \frac{x^3 + y^3 - x^2y - y^2x}{xy} = \frac{x^2(x - y) - y^2(x - y)}{xy} = \frac{(x^2 - y^2)(x - y)}{xy} = \frac{(x + y)(x - y)^2}{xy} ≥ 0$
Неравенство доказано.
Пожауйста, оцените решение
