Докажите, что если x > 0 и y > 0, то:
а)

\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

;
б)

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq x + y

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 36. Доказательство неравенств. Номер №906

\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \geq 0

\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{x^{3} + y^{3} - x y^{2} - y x^{2}}{x^{2} y^{2}} = \frac{x (x^{2} - y^{2}) - y (x^{2} - y^{2})}{x^{2} y^{2}} = \frac{(x - y) (x^{2} - y^{2})}{x^{2} y^{2}} = \frac{(x - y)^{2} (x + y)}{x^{2} y^{2}} \geq 0

Неравенство доказано.

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq x + y

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} - (x + y) \geq 0

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} - (x + y) = \frac{x^{3} + y^{3} - x^{2} y - y^{2} x}{x y} = \frac{x^{2} (x - y) - y^{2} (x - y)}{x y} = \frac{(x^{2} - y^{2}) (x - y)}{x y} = \frac{(x + y) (x - y)^{2}}{x y} \geq 0

Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова