Теорема 1.
Если a > b, то b < a. Если a < b, то b > a.
Доказательство:
a > b ⇒
a − b > 0 ⇒
b − a < 0 ⇒
b < a
И наоборот:
a < b ⇒
a − b < 0 ⇒
b − a > 0 ⇒
b > a
 
Теорема 2.
Если a < b и b < c, то a < c.
Доказательство:
a < b ⇒ a − b < 0;
b < c ⇒ b − c < 0;
$\begin{equation*} \begin{cases} a - b < 0 &\\ b - c < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
a − c = (a − b) + (b − c) < 0
a < c
Свойство транзитивности доказано.
 
Теорема 3.
Если a < b и c − любое число, то a + c < b + c.
Доказательство:
a < b
a − b < 0
(a + c) − (b + c) < 0
a + c < b + c
Свойство сохранения знака при прибавлении одинакового числа доказано.
 
Теорема 4.
Если a < b и c > 0, то ac < bc. Если a < b и c < 0, то ac > bc.
Доказательство:
a < b ⇒ a − b < 0
$\begin{equation*} \begin{cases} a - b < 0 &\\ c > 0 & \end{cases} \end{equation*}$
c(a − b) < 0
ac − bc < 0
ac < bc
 
a < b ⇒ a − b < 0
$\begin{equation*} \begin{cases} a - b < 0 &\\ c < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
c(a − b) > 0
ac − bc > 0
ac > bc
Свойство сохранения знака при умножении неравенства на положительное число и изменения знака при умножении на отрицательное − доказано.