Теорема 1.
Если a < b и c < d, то a + c < b + d.
Доказательство:
$\begin{equation*} \begin{cases} a < b ⇒ a - b < 0 &\\ c < d ⇒ c - d < 0 & \end{cases} \end{equation*}$
(a − b) + (c − d) < 0
(a + c) − (b + d) < 0
a + c < b + d
Таким образом, доказано, что если почленно сложить верные неравенства одного знака, то мы получим верное неравенство того же знака.
 
Теорема 2.
Если a < b и c < d, где a, b, c, d > 0, то ac < bd.
Доказательство:
$\begin{equation*} \begin{cases} a < b ⇒ a - b < 0 &\\ c > 0 & \end{cases} \end{equation*}$
c(a − b) < 0
ac − bc < 0
ac < bc
 
$\begin{equation*} \begin{cases} c < d ⇒ c - d < 0 &\\ b > 0 & \end{cases} \end{equation*}$
b(c − d) < 0
bc − bd < 0
bc < bd
$\begin{equation*} \begin{cases} ac < bc &\\ bc < bd & \end{cases} \end{equation*}$
ac < bc < bd
ac < bd
Таким образом, доказано, что если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых − положительные числа, то мы получим верное неравенство того де знака.