Докажите, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство

\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №739

Решение

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Выражения слева и справа неотрицательны. Значит, мы можем возвести их в квадрат, и знак соотношения между квадратами будет соответствовать знаку соотношения между самими выражениями:

\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

;

(\frac{a + b}{2})^{2} \leq (\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})^{2}

;

(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

;

(\frac{a + b}{2})^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 (a^{2} - b^{2})}{4} = \frac{- a^{2} + 2 a b - b^{2}}{4} = - \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4} = - \frac{(a - b)^{2}}{4} \leq 0

.
Значит:

(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

;

\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

.
Неравенство доказано.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, 2013

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №739

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №739

Решение