Выражения слева и справа неотрицательны. Значит, мы можем возвести их в квадрат, и знак соотношения между квадратами будет соответствовать знаку соотношения между самими выражениями:
$\frac{a + b}{2} ≤ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$;
$(\frac{a + b}{2})^2 ≤ (\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}})^2$;
$(\frac{a + b}{2})^2 ≤ \frac{a^2 + b^2}{2}$;
$(\frac{a + b}{2})^2 - \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2(a^2 - b^2)}{4} = \frac{-a^2 + 2ab - b^2}{4} = -\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = -\frac{(a - b)^2}{4} ≤ 0$.
Значит:
$(\frac{a + b}{2})^2 ≤ \frac{a^2 + b^2}{2}$;
$\frac{a + b}{2} ≤ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$.
Неравенство доказано.