(Для работы в парах.) Докажите, что если a и b − положительные числа и $a^2 > b^2$, то a > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{2}$;
б) $\sqrt{3} + 2$ и $\sqrt{6} + 1$;
в) $\sqrt{5} - 2$ и $\sqrt{6} - \sqrt{3}$;
г) $\sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} - \sqrt{6}$.
1) Проведите доказательство приведенного утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто − задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
Дано:
a > 0,
b > 0,
$a^2 > b^2$.
Доказать:
a > b
Доказательство:
$a^2 > b^2$
$a^2 - b^2 > 0$
$\begin{equation*}
\begin{cases}
(a + b)(a - b) > 0 &\\
a + b > 0 &
\end{cases}
\end{equation*}$
a − b > 0
a > b
Утверждение доказано.
Во всех примерах слева и справа стоят положительные числа. Мы можем одновременно возвести их в квадрат и сравнить. Знак сравнения между квадратами совпадает со знаком между самими числами, как мы только что доказали.
а)
$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$;
$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$;
$9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}$;
$\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}$.
б)
$(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}$;
$(\sqrt{6} + 1)^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7 + 2\sqrt{6}$;
$7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6}$;
$\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1$.
в)
$(\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - \sqrt{16 * 5} = 9 - \sqrt{80}$;
$(6 - 2\sqrt{18} + 3)^2 = 9 - \sqrt{4 * 18} = 9 - \sqrt{72}$;
$9 - \sqrt{80} < 9 - \sqrt{72}$;
$\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}$.
г)
$(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{70} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$;
$(\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$;
$17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$;
$\sqrt{10} - \sqrt{7} < \sqrt{11} - \sqrt{6}$.
Пожауйста, оцените решение
