Пусть a > 0 − исследуемое число.
Допустим, что $a + \frac{1}{a} < 2$
Преобразуем сумму:
$\frac{a^2 + 1}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} + \frac{2a}{a} = \frac{(a - 1)^2}{a} + 2 < 2$
Получаем:
$\frac{(a - 1)^2}{a} < 0$
Числитель дроби неотрицателен при любом a, знаменатель положителен по определению. Значит, дробь не может быть отрицательной. Мы пришли к противоречию. Откуда следует, что $a + \frac{1}{a} ≥ 2$.
Что и требовалось доказать.