$\frac{a + 2}{a} - 2 ≥ 2 - \frac{a + 2}{2}$
$\frac{a + 2}{a} - 2 - 2 + \frac{a + 2}{2} ≥ 0$
$\frac{a + 2}{a} - 4 + \frac{a + 2}{2} ≥ 0$
$\frac{2(a + 2) - 8a + a(a + 2)}{2a} ≥ 0$
$\frac{2a + 4 - 8a + a^2 + 2a}{2a} ≥ 0$
$\frac{a^2 - 4a + 4}{2a} ≥ 0$
$\frac{(a - 2)^2}{2a} ≥ 0$
Числитель всегда неотрицательный, значит при a > 0 знаменатель будет положительный и неравенство будет верным.
Что и требовалось доказать.