(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь $\frac{a}{b}$, где a и b − натуральные числа, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому − дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один − для случая a < b, а другой − для случая a > b.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
Рассмотрим примеры дробей с a < b.
$\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$, тогда:
$\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{5 + 1}{6 + 1} = \frac{6}{7}$;
$\frac{5}{6} = \frac{35}{42}$;
$\frac{6}{7} = \frac{36}{42}$;
$\frac{35}{42} < \frac{36}{42}$ − дробь увеличилась.
$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$, тогда:
$\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{1 + 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$;
$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$;
$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$;
$\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$ − дробь увеличилась.
Рассмотрим примеры дробей с a > b.
$\frac{a}{b} = \frac{8}{5}$, тогда:
$\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{8 + 1}{5 + 1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$;
$\frac{8}{5} = \frac{16}{10}$;
$\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$;
$\frac{16}{10} > \frac{15}{10}$ − дробь уменьшилась.
$\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$, тогда:
$\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{4 + 1}{3 + 1} = \frac{5}{4}$;
$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$;
$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$;
$\frac{16}{12} > \frac{15}{12}$ − дробь уменьшилась.
Гипотеза: при прибавлении к числителю и знаменателю дроби $\frac{a}{b}$ по 1:
в случае a < b дробь увеличивается;
в случае a > b дробь уменьшается.
Доказательство:
$\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a(b + 1) - b(a + 1)}{b(b + 1)} = \frac{ab + a - ab - b}{b(b + 1)} = \frac{a - b}{b(b + 1)}$
По условию b ∈ N. Значит, знаменатель b(b + 1) ∈ N и положительный. Знак разницы зависит от знака числителя.
Получаем, что:
при a > b разница $\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} > 0$, т.е. вторая дробь меньше;
при a < b разница $\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} < 0$, т.е. вторая дробь больше.
Что и требовалось доказать.
Пожауйста, оцените решение
