(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь
, где
a и
b − натуральные числа, если к ее числителю и знаменателю прибавить по
1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь
. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому − дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один − для случая
a < b, а другой − для случая
a > b.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.
reshalka.com
ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №732
Решение 1
Рассмотрим примеры дробей с a < b.
, тогда:
;
;
;
− дробь увеличилась.
, тогда:
;
;
;
− дробь увеличилась.
Рассмотрим примеры дробей с
a > b.
, тогда:
;
;
;
− дробь уменьшилась.
, тогда:
;
;
;
− дробь уменьшилась.
Решение 2
Гипотеза: при прибавлении к числителю и знаменателю дроби
по
1:
в случае
a < b дробь увеличивается;
в случае
a > b дробь уменьшается.
Решение 3
Доказательство:
По условию
b ∈ N. Значит, знаменатель
b(b + 1) ∈ N и положительный. Знак разницы зависит от знака числителя.
Получаем, что:
при
a > b разница
, т.е. вторая дробь меньше;
при
a < b разница
, т.е. вторая дробь больше.
Что и требовалось доказать.
