ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 28. Числовые неравенства. Номер №732

(Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь

a b
, где a и b − натуральные числа, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 1?
1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь
a b
. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому − дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
3) Проведите доказательство: один − для случая a < b, а другой − для случая a > b.
4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Решение 1

Рассмотрим примеры дробей с a < b.

a b = 5 6
, тогда:
a + 1 b + 1 = 5 + 1 6 + 1 = 6 7
;
5 6 = 35 42
;
6 7 = 36 42
;
35 42 < 36 42
− дробь увеличилась.
 
a b = 1 2
, тогда:
a + 1 b + 1 = 1 + 1 2 + 1 = 2 3
;
1 2 = 3 6
;
2 3 = 4 6
;
3 6 < 4 6
− дробь увеличилась.
 
Рассмотрим примеры дробей с a > b.
a b = 8 5
, тогда:
a + 1 b + 1 = 8 + 1 5 + 1 = 9 6 = 3 2
;
8 5 = 16 10
;
3 2 = 15 10
;
16 10 > 15 10
− дробь уменьшилась.
 
a b = 4 3
, тогда:
a + 1 b + 1 = 4 + 1 3 + 1 = 5 4
;
4 3 = 16 12
;
5 4 = 15 12
;
16 12 > 15 12
− дробь уменьшилась.

Решение 2

Гипотеза: при прибавлении к числителю и знаменателю дроби

a b
по 1:
в случае a < b дробь увеличивается;
в случае a > b дробь уменьшается.

Решение 3

Доказательство:

a b a + 1 b + 1 = a ( b + 1 ) b ( a + 1 ) b ( b + 1 ) = a b + a a b b b ( b + 1 ) = a b b ( b + 1 )

По условию b ∈ N. Значит, знаменатель b(b + 1) ∈ N и положительный. Знак разницы зависит от знака числителя.
Получаем, что:
при a > b разница
a b a + 1 b + 1 > 0
, т.е. вторая дробь меньше;
при a < b разница
a b a + 1 b + 1 < 0
, т.е. вторая дробь больше.
Что и требовалось доказать.




Instagram line