a(a + b) ≥ ab
$a^2 + ab - ab ≥ 0$
$a^2 ≥ 0$
Неравенство справедливо при любом a.

$m^2 - mn + n^2 ≥ mn$
$m^2 - mn + n^2 - mn ≥ 0$
$m^2 - 2mn + n^2 ≥ 0$
$(m + n)^2 ≥ 0$

$10a^2 - 5a + 1 ≥ a^2 + a$
$10a^2 - 5a + 1 - a^2 - a ≥ 0$
$9a^2 - 6a + 1 ≥ 0$
$(3a - 1)^2 ≥ 0$
Неравенство справедливо при любом a.

$2bc ≤ b^2 + c^2$
$0 ≤ b^2 + c^2 - 2bc$
$0 ≤ (b + c)^2$
Неравенство справедливо при любых b и c.

$a(a - b) ≥ b(a - b)$
$a^2 - ab ≥ ab - b^2$
$a^2 - ab - ab + b^2 ≥ 0$
$a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$
$(a - b)^2 ≥ 0$
Неравенство справедливо при любых a и b.

$a^2 - a ≤ 50a^2 - 15a + 1$
$a^2 - a - 50a^2 + 15a - 1 ≤ 0$
$-49a^2 + 14a - 1 ≤ 0$
$-(49a^2 - 14a + 1) ≤ 0$
$-(7a - 1)^2 ≤ 0$
Неравенство справедливо при любом a.