Пусть x (км/ч) − скорость поезда, тогда:
x + 15 (км/ч) − увеличенная скорость поезда;
$\frac{600 * \frac{1}{4}}{x} = \frac{150}{x}$ (ч) − шел поезд первый участок пути;
$\frac{450}{x}$ (ч) − шел поезд второй участок пути;
$\frac{600}{x}$ (ч) − шел поезд весь путь.
Так как, поезд был задержан на 1 ч 30 мин $(\frac{90}{60} = \frac{3}{2})$, составим уравнение:
$\frac{150}{x} + \frac{3}{2} + \frac{450}{x} = \frac{600}{x}$
$\frac{3x + 45 + 900}{2(x + 15)} - \frac{450}{x} = 0$
$3x^2 + 945x - 900x - 13500 = 0$
$3x^2 + 45x - 13500 = 0$
$x^2 + 15x - 4500 = 0$
$D = 15^2 + 4 * 4500 = 225 + 18000 = 18225$
$x = \frac{-15 ± \sqrt{18225}}{2}$
$x_1 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$
$x_2 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
Скорость не может быть отрицательной, значит:
x = 60 (км/ч) − скорость поезда;
$\frac{600}{x} = \frac{600}{60} = 10$ (ч) − шел поезд весь путь.
Ответ: 10 часов