Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а) $2x^2 - 41x + 39 = 0$;
б) $17x^2 + 243x - 260 = 0$.
По условию:
a + b + c = 0
a = −(b + c)
Уравнение принимает вид:
$-(b + c)x^2 + bx + c = 0$
В приведенной форме:
$x^2 - \frac{b}{b + c}x - \frac{c}{b + c} = 0$
Дискриминант:
$D = (\frac{b}{b + c})^2 + 4\frac{c}{b + c} = \frac{b^2 + 4bc + 4c^2}{(b + c)^2} = (\frac{b + 2c}{b + c})^2$
Корни:
$x = \frac{\frac{b}{b + c} ± \frac{b + 2c}{b + c}}{2} = \frac{b ± (b + 2c)}{2(b + c)}$
$x_1 = \frac{b - b - 2c}{2(b + c)} = -\frac{c}{b + c} = \frac{c}{a}$
$x_2 = \frac{b + b + 2c}{2(b + c)} = \frac{2(b + c)}{2(b + c)} = 1$
Таким образом, один из корней всегда равен 1, что и требовалось доказать.
Заметим, что второй корень при этом равен $\frac{c}{a}$
$2x^2 - 41x + 39 = 0$
Сумма коэффициентов уравнения: 2 − 41 + 39 = 0;
Один из корней: $x_1 = 1$;
Второй корень: $x_2 = \frac{39}{2} = 19,5$
Ответ:
$x_1 = 1$;
$x_2 = 19,5$.
$17x^2 + 243x - 260 = 0$
Сумма коэффициентов уравнения: 17 + 243 − 260 = 0;
Один из корней: $x_1 = 1$;
Второй корень: $x_2 = -\frac{260}{17} = -15\frac{5}{17}$
Ответ:
$x_1 = 1$;
$x_2 = -15\frac{5}{17}$.
Пожауйста, оцените решение
