Главная

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №675

Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения
a x 2 + b x + c = 0
равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а)
2 x 2 41 x + 39 = 0
;
б)
17 x 2 + 243 x 260 = 0
.

Решение доказательство

По условию:
a + b + c = 0
a = −(b + c)
Уравнение принимает вид:
( b + c ) x 2 + b x + c = 0

В приведенной форме:
x 2 b b + c x c b + c = 0

Дискриминант:
D = ( b b + c ) 2 + 4 c b + c = b 2 + 4 b c + 4 c 2 ( b + c ) 2 = ( b + 2 c b + c ) 2

Корни:
x = b b + c ± b + 2 c b + c 2 = b ± ( b + 2 c ) 2 ( b + c )

x 1 = b b 2 c 2 ( b + c ) = c b + c = c a

x 2 = b + b + 2 c 2 ( b + c ) = 2 ( b + c ) 2 ( b + c ) = 1

Таким образом, один из корней всегда равен 1, что и требовалось доказать.
Заметим, что второй корень при этом равен
c a

Решение а

2 x 2 41 x + 39 = 0

Сумма коэффициентов уравнения: 241 + 39 = 0;
Один из корней:
x 1 = 1
;
Второй корень:
x 2 = 39 2 = 19 , 5

Ответ:
x 1 = 1
;
x 2 = 19 , 5
.

Решение б

17 x 2 + 243 x 260 = 0

Сумма коэффициентов уравнения: 17 + 243260 = 0;
Один из корней:
x 1 = 1
;
Второй корень:
x 2 = 260 17 = 15 5 17

Ответ:
x 1 = 1
;
x 2 = 15 5 17
.