Пусть {n, n + 1} − искомые числа, n ∈ N.
Так как, разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919, составим уравнение:
$(n + 1)^3 - n^3 = 919$
$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 - 919 = 0$
$3n^2 + 3n - 918 = 0$|:3
$n^2 + n - 306 = 0$
D = 1 + 4 * 306 = 1 + 1224 = 1225
$x = \frac{-1 ± \sqrt{1225}}{2}$
$x_1 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$
$x_2 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$
По условию n − число натуральное, значит:
n = 17;
n + 1 = 17 + 1 = 18.
Ответ: {17, 18}