Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
а) $a^2 + 4a + 11$;
б) $\frac{x^2 - 2x + 7}{19}$;
в) $m^2 - 4m + 51$;
г) $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1}$;
д) $2b^2 - 8b + 20$;
е) $\frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40}$.
$a^2 + 4a + 11 = (a^2 + 4a + 4) + 7 = (a + 2)^2 + 7 ≥ 7 > 0$
$\frac{x^2 - 2x + 7}{19} = \frac{(x^2 - 2x + 1) + 6}{19} ≥ \frac{6}{19} > 0$
$m^2 - 4m + 51 = (m^2 - 4m + 4) + 47 = (m - 2)^2 + 47 ≥ 47 > 0$
$\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{(p^2 - 6p + 9) + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p - 3)^2 + 9}{p^2 + 1}$
числитель: $(p - 3)^2 + 9 ≥ 9 > 0$ − положительный;
знаменатель: $p^2 + 1 ≥ 1 > 0$ − положительный.
Значит, дробь положительна при любом p.
$2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 10) = 2(b^2 - 4b + 4 + 6) = 2((b - 2)^2 + 6) ≥ 12 > 0$
$\frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2c^2 + 18}{(c^2 + 12c + 36) + 4} = \frac{2c^2 + 18}{(c + 6)^2 + 4}$
числитель: $2c^2 + 18 ≥ 18 > 0$ − положительный;
знаменатель: $(c + 6)^2 + 4 ≥ 4 > 0$ − положительный.
Значит, дробь положительна при любом c.
Пожауйста, оцените решение
