Пусть x − числитель искомой дроби, тогда:
x + 3 − знаменатель искомой дроби;
x + 7 − числитель новой дроби;
x + 3 + 5 − числитель новой дроби.
Так как, дробь увеличится на $\frac{1}{2}$, составим уравнение:
$\frac{x + 7}{x + 3 + 5} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{2}$
$\frac{x + 7}{x + 8} - \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{2} = 0$
$\frac{(x + 7)(2x + 6) - 2x(x + 8) - (x + 3)(x + 8)}{2(x + 8)(x + 3)} = 0$
$2x^2 + 6x + 14x + 42 - 2x^2 - 16x - x^2 - 8x - 3x - 24 = 0$
$-x^2 - 7x + 18 = 0$
$x^2 + 7x - 18 = 0$
D = 49 + 4 * 18 = 121
$x = \frac{-7 ± \sqrt{121}}{2}$
$x_1 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
$x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$
при x = −9:
$\frac{-9}{-9 + 3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ − не подходит, так как по условию дробь обыкновенная;
при x = 2:
$\frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$ − искомая дробь.
Ответ: $\frac{2}{5}$