(Для работы в парах.)
Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
а) $x^2 + 7x - 1 = 0$;
б) $x^2 - 7x + 1 = 0$;
в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$;
г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$;
д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$;
е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$.
1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто − задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
Чтобы выяснить, имеет ли уравнение корни, нужно определить знак его дискриминанта. Если D < 0, то корней нет.
а)
$x^2 + 7x - 1 = 0$
D = 49 + 4 > 0
2 корня
б)
$x^2 - 7x + 1 = 0$
D = 49 − 4 > 0
2 корня
в)
$5x^2 + 17x + 16 = 0$
$D = 17^2 - 4 * 5 * 16 = 289 - 320 = -31 < 0$
нет корней
г)
$19x^2 - 23x + 5 = 0$
$D = 23^2 - 4 * 5 * 19 = 529 - 380 = 149 > 0$
2 корня
д)
$2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$
$D = 75 - 4 * 2 * 11 = 75 - 88 = -13 < 0$
нет корней
е)
$11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$
$D = 9^2 + 4 * 11 * (7 - 5\sqrt{2}) > 0$
2 корня
Теорема о знаках корней для a > 0.
Если c < 0, то корни имеют разные знаки.
Если c > 0, b > 0, то оба корня отрицательные.
Если c > 0, b < 0, то оба корня положительные.
а)
$x^2 + 7x - 1 = 0$
D = 49 + 4 = 53
$x = \frac{-7 ± \sqrt{53}}{2}$
Два корня разных знаков.
б)
$x^2 - 7x + 1 = 0$
D = 49 − 4 = 45
$x = \frac{-7 ± 3\sqrt{5}}{2}$
Два положительных корня.
г)
$19x^2 - 23x + 5 = 0$
$D = 23^2 - 4 * 5 * 19 = 149$
$x = \frac{23 ± \sqrt{149}}{38}$
Два положительных корня.
е)
$11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$
$D = 9^2 - 4 * 11 * (7 - 5\sqrt{2}) = 220\sqrt{2} - 227$
$x = \frac{9 ± \sqrt{220\sqrt{2} - 227}}{22}$
Сравним 9 и $\sqrt{D}$
81 и $220\sqrt{2} - 227$
308 и $220\sqrt{2}$ |:4
77 и $55\sqrt{2}$ |:11
7 и $5\sqrt{2}$
$\sqrt{49} < \sqrt{50}$
Два корня различных знаков.
Таким образом, знаки полученных корней совпадают с предсказанными на основе теоремы.
Пожауйста, оцените решение
